Valuación de derivados

David R. Montalván Hernández

Instrumento derivado

Un instrumento derivado es un contrato entre dos o más partes y cuyo valor se deriva a partir del valor de un activo subyacente.

Opciones sobre acciones

Una opción nos da el derecho de comprar (opción call) o vender (opción put) a un precio determinado (el precio strike) una unidad de la acción a la cual está referenciada.

Opción europea

Una opción europea es una opción que se puede ejercer únicamente en una fecha determinada.

Opción americana

Una opción americana es una opción que se puede ejercer en cualquier fecha dentro de un periodo de tiempo determinado.

Payoff de opciones europeas

Sea \(T\) el momento en que se establece que la opción se puede ejecutar y sea \(K\) el precio strike. El payoff de una opción call europea con subyacente \(S\), está dado por:

\[ Call_{T}(S,K) = \max(S_T - K, 0) \]

Por otra parte, el payoff de una opción put europea es

\[ Put_{T}(S,K) = \max(K - S_T, 0) \]

Un call es una apuesta a una tendencia a la alza en los precios, mientras que un put es una apuesta a una tendencia a la baja.

Movimiento browniano

Un movimiento browniano (formalmente un proceso de Wiener) es un proceso estocástico \(\{W\}_{t\geq 0}\) que satisface lo siguiente:

  1. \(W_0 = 0\).

  2. El mapeo \(t \rightarrow W_t\) es una función continua.

  3. Los incrementos \(\{W_{t_1} - W_{t_0}, W_{t_2} - W_{t_1}, \ldots, W_{t_k} - W_{t_{k-1}} \}\) son variables aleatorias independientes.

  4. Para \(s < t\), \(W_t - W_s \sim N(0, \sigma^2 = t - s)\).

Modelo Black-Scholes-Merton

En el modelo de Black-Scholes-Merton, se tiene un mercado en el cual existen únicamente tres instrumentos:

  1. Acción \(S\).

  2. Cuenta de ahorro, \(B_t\) que gana una tasa libre de riesgo \(r\).

\[ \dfrac{B_t}{B_t} = rdt \implies B_t = e^{rt} \] 3. Instrumento derivado \(V\) cuyo subyacente es \(S\).

El precio de la acción se modela utilizando un movimiento browniano geométrico

\[ dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t \]

Nota:

Realmente esta es la dinámica que sigue \(\{S_t\}_{t\geq 0}\) bajo una medidad de probabilidad, \(\mathbb{Q}\), llamada medida neutral al riesgo.

Valuación de derivados

Bajo ciertas condiciones, el precio en el tiempo \(t\) de un producto financiero derivado con función de payoff \(H\) y cuyo subyacente es \(S\) está dado por:

\[ Precio_H(S,t) = e^{-r(T-t)}E_{Q}[H(S,T)] \]

en donde \(Q\) es la medida neutral al riesgo.

En particular para un call europeo

\[ Call(S,K,t,T,r,\sigma) = e^{-r(T-t)}E_{Q}[\max(S_T - K, 0)] \]

Monte Carlo para valuar derivados

  1. Simula trayectorias del subyacente.

  2. Para cada trayectoria calcula el payoff del derivado \(H(S,T)\).

  3. Aproxima \(E_{Q}[H(S,T)]\) promediando el payoff de cada una de las trayectorias.

  4. Aplica el factor de descuento apropiado, en este caso \(e^{-r(T-t)}\), a la cantidad obtenida en el punto anterior.

Esquema de Euler para simular \(S_t\)

Para simular el proceso dado por la ecuación diferencial estocástica

\[ dS_t = rS_tdt + \sigma S_t dW_t \]

  1. Crear una partición, \(\Pi = \{t_0 = 0, t_1, \ldots, t_N = T \}\) del intervalo \([0, T]\) dividiéndolo en \(N\) partes iguales (número de pasos) y haciendo \(\Delta = \dfrac{\frac{T - t_0}{Y}}{N}\) en donde \(Y\) es el número de días en el año.

  2. Sustituir \(dt\) por \(\Delta\) y \(dW_t\) por \(\sqrt{\Delta}Z\) en donde \(Z \sim N(0,1)\) (número aleatorio normal media cero desviación estándar 1)

  1. Calcular los siguientes precios utilizando la discretización

\[ S_{t_{i+1}} = S_{t_{i}} + r S_{t_{i}} \Delta + \sigma S_{t_{i}}\sqrt{\Delta}Z_{i+1} \]

Fórmulas analíticas

Bajo el modelo de Black-Scholes, el precio, en el tiempo \(t\), de un call del tipo europeo está dado por

\[ Call(S,K,t,T,r,\sigma) = S_t\mathbf{N}(d_1) - e^{-r(T-t)}K\mathbf{N}(d_2) \]

  • \(\mathbf{N}\) Es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria \(N(0,1)\).

  • \(d_1 = \dfrac{ \ln \dfrac{S_t}{K} + (r + 0.5\sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}}\)

  • \(d_2 = \dfrac{ \ln \dfrac{S_t}{K} + (r - 0.5\sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}}\)

  • \(T\) es la fecha de vencimiento.

  • \(t\) es la fecha de valuación.

  • \(T - t\) es el plazo para el vencimiento (en fracción de años).

  • \(r\) es la tasa libre de riesgo (continua anual)

  • \(\sigma\) volatilidad del subyacente.

  • \(K\) precio strike.

En el caso de un put, se tiene

\[ Put(S,K,t,T,r,\sigma) = e^{-r(T-t)}K\mathbf{N}(-d_2) - S_t\mathbf{N}(-d_1) \]