Iniciaremos estas notas repasando algunos conceptos básicos del álgebra lineal, estos conceptos son necesarios para entender el desarrollo de los temas posteriores.
Sea \(\mathbb{F}\) un subconjunto de los números complejos \(\mathbb{C}\). Decimos que \(\mathbb{F}\) es un campo, si satisface las siguientes condiciones:
Si \(x,y \in \mathbb{F}\), entonces \(x + y \in \mathbb{F}\), \(xy \in \mathbb{F}\) (cerradura bajo la suma y el producto).
Los elementos \(0\) y \(1\) pertenecen a \(\mathbb{F}\) (existencia del neutro aditivo y neutro multiplicativo).
Si \(x \in \mathbb{F}\), entonces \(-x\) es también un elemento de \(\mathbb{F}\) (existencia del inverso aditivo).
Si \(x \in \mathbb{F}\) y \(x \neq 0\), entonces \(x^{-1} \in \mathbb{F}\) (existencia del inverso multiplicativo).
A los elementos de un campo se les llamará números o escalares.
Algunos campos con los cuales se trabaja comúnmente son:
El conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\)
El conjunto de los números racionales \(\mathbb{Q}\)
El conjunto de los números complejos \(\mathbb{C}\)
El conjunto de los números enteros, \(\mathbb{Z}\), ¿es un campo?
Decimos que un conjunto, \(\mathbb{V}\), (vectores) sobre un campo \(\mathbb{V}\) (escalares), es un espacio vectorial si:
Existen dos operaciones definidas \((\cdot, +)\) con la propiedad de cerradura:
\(a \cdot \mathbf{v} \in \mathbb{V}\), para todo \(a \in \mathbb{F}, \mathbf{v} \in \mathbb{V}\)
\(\mathbf{v} + \mathbf{w} \in \mathbb{V}\), para todo \(\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbf{V}\)
tales que
Para \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V}\), se tiene que: \[ (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})\]
Existe un elemento \(\mathbf{0} \in \mathbb{V}\), tal que \(\mathbf{0} + \mathbf{v} = \mathbf{v}\) para todo \(\mathbf{v} \in \mathbb{V}\).
Para todo \(\mathbf{v} \in \mathbb{V}\) existe un elemento \(\mathbf{-v} \in \mathbb{V}\), tal que \(\mathbf{v} + (\mathbf{-v}) = \mathbf{0}\).
Para todo \(\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V}\), se tiene que \(\mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{w} + \mathbf{v}\).
Para todo \(a \in \mathbb{F}\) y para todo \(\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{V}\), tenemos que \(a \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = a \cdot \mathbf{v} + a \cdot \mathbf{w}\).
Para todo \(a,b \in \mathbb{F}\) y \(\mathbf{v} \in \mathbb{V}\), se tiene que \(a \cdot (b \cdot \mathbf{v}) = (ab) \cdot \mathbf{v}\).
Para todo \(a,b \in \mathbb{F}\) y \(\mathbf{v} \in \mathbb{V}\), tenemos \((a + b) \cdot \mathbf{v} = a \cdot \mathbf{v} + b \cdot \mathbf{v}\).
Para todo \(\mathbf{v} \in \mathbb{V}\) y \(1 \in \mathbb{F}\), tenemos que \(1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}\).
Nota: es más común utilizar la siguiente notación:
\(a \cdot \mathbf{v} = a \mathbf{v}\)
\(\mathbf{v} + (- \mathbf{w}) = \mathbf{v} - \mathbf{w}\)
Demuestre que si \(\mathbb{V}\) es un espacio vectorial sobre un campo \(\mathbb{F}\), entonces para todo \(\mathbf{v} \in \mathbb{V}\) tenemos que:
\[ 0 \mathbf{v} = \mathbf{0}\]
En donde \(0\) es el elemento cero de \(\mathbb{F}\) y \(\mathbf{0}\) es el elemento cero de \(\mathbb{V}\)
Sugerencia: Sume \(\mathbf{v}\) en el lado izquierdo de la ecuación
¿Es el conjunto \(\mathbb{R}^n\), un espacio vectorial sobre el campo de los números complejos \(\mathbb{C}\)?
Sea \(\mathbb{V}\) un espacio vectorial y \(\mathbb{W}\) \(\subset\) \(\mathbb{V}\). Decimos que \(\mathbb{W}\) es un subespacio vectorial si:
Si \(\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{W}\), entonces \(\mathbf{v} + \mathbf{w} \in \mathbb{W}\).
Si \(\mathbf{v} \in \mathbb{W}\) y \(c\) es un escalar, entonces \(c\mathbf{v} \in \mathbb{W}\)
\(\mathbf{0} \in \mathbb{W}\)
Si \(\mathbb{V} = \mathbb{R}^n\)y \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\), demuestre que el conjunto de vectores en \(\mathbb{V}\) cuya primera coordenada es igual a cero forma un subespacio vectorial de \(\mathbb{V}\).
Sea \(\mathbb{V}\) un espacio vectorial sobre un campo \(\mathbb{F}\).
Una expresión del tipo
\[a_1 \mathbf{v_1} + \ldots + a_n \mathbf{v_n}\] con \(a_i \in \mathbb{F}, \mathbf{v_i} \in \mathbb{V}\) para toda \(i\), es llamada una combinación lineal de \(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\)
Si todo elemento \(\mathbf{v} \in \mathbb{V}\) se puede expresar como una combinación lineal de vectores \(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\) de \(\mathbb{V}\), es decir, si existen escalares \(a_1, \ldots, a_n\) tales que
\[\mathbf{v} = a_1 \mathbf{v_1} + \ldots + a_n \mathbf{v_n}\]
entonces decimos que los vectores, \(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\), generan el espacio \(\mathbb{V}\)
Sea \(\mathbb{V}\) un espacio vectorial sobre un campo \(\mathbb{F}\) y sea \(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\) un conjunto de vectores de \(\mathbb{V}\). Decimos que \(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\) son linealmente dependientes sobre el campo \(\mathbb{F}\) si existen escalares \(a_1, \ldots, a_n\) con al menos un \(a_i\) distinto de cero, tales que
\[a_1 \mathbf{v_1} + \ldots + a_n \mathbf{v_n} = \mathbf{0}\]
En otras palabras, existe al menos un vector \(\mathbf{v}_i \neq \mathbf{0}\) tal que:
\[\mathbf{v_i} = \sum_{j \neq i} -\dfrac{a_j}{a_i} \mathbf{v_j}\]
Decimos que un conjunto de vectores, \(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\), son linealmente independientes, si la igualdad
\[a_1 \mathbf{v_1} + \ldots + a_n \mathbf{v_n} = \mathbf{0}\]
implica que \(a_1=a_2 \ldots = a_n = 0\); en otras palabras, no es posible expresar algún vector \(\mathbf{v_i}\) como combinación lineal de los demás.
Demuestre que si \(\mathbb{V} = \mathbb{R}^n\) y \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\), entonces el conjunto de vectores
\[ \begin{matrix} \mathbf{e_1} & = & \left(1, 0, \ldots, 0 \right)\\ \mathbf{e_2} & = & \left(0, 1, \ldots, 0 \right) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \mathbf{e_n} & = & \left(0, 0, \ldots, 1 \right) \end{matrix} \]
es un conjunto linealmente independiente.
Demuestre que si \(\{ \mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n} \}\) es un conjunto de vectores linealmente independiente, entonces el conjunto \(\{ \mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}, \mathbf{0} \}\) es linealmente dependiente. Sugerencia: Primero demuestre para todo escalar \(c\), \(c\mathbf{0} = \mathbf{0}\).
Decimos que un conjunto de vectores \(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\) de un espacio vectorial \(\mathbb{V}\) sobre un campo \(\mathbb{F}\), forma una base de \(\mathbb{V}\) si:
\(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\) son linealmente independientes.
\(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}\) generan \(\mathbb{V}\).
Demuestre que si \(\mathbb{V} = \mathbb{R}^n\) y \(\mathbb{F} = \mathbb{R}\), entonces el conjunto de vectores
\[ \begin{matrix} \mathbf{e_1} & = & \left(1, 0, \ldots, 0 \right)\\ \mathbf{e_2} & = & \left(0, 1, \ldots, 0 \right) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \mathbf{e_n} & = & \left(0, 0, \ldots, 1 \right) \end{matrix} \]
forma una base de \(\mathbb{R}^n\).
Sea \(\mathcal{B} = \{\mathbf{v_1},\ldots, \mathbf{v_n} \}\) una base para el espacio vectorial \(\mathbb{V}\), tal que \(\left| \mathcal{B} \right| = n < \infty\). Decimos que la dimensión de \(\mathbb{V}\), \(dim(\mathbb{V})\), es igual a \(n\).
La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores linealmente independientes necesarios para generar dicho espacio.
Sea \(\mathbb{V}\) un espacio vectorial sobre un campo \(\mathbb{F}\).
Sea \(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_m}\) una base de \(\mathbb{V}\) y sea \(\mathbf{w_1}, \ldots, \mathbf{w_n}\) un conjunto de elementos de \(\mathbb{V}\), supongamos que \(n > m\).
Entonces \(\mathbf{w_1}, \ldots, \mathbf{w_n}\) forman un conjunto linealmente dependiente.
Pregunta: Desde el punto de vista de los datos que poseemos, ¿cómo podríamos interpretar el teorema?
¿Cuál es la dimensión de cada subespacio vectorial?
\(\mathbb{R}^n\) sobre el campo \(\mathbb{R}\).
Recta en \(\mathbb{R}^2\) que pasa por el origen.
Plano en \(\mathbb{R}^3\) que pasa por el origen.
\(\mathbb{Q}\) sobre \(\mathbb{Z}\).