Muestra

Una muestra, \(\mathbf{X}\), es una colección de observaciones \(X_1, \ldots, X_n\) que son independientes e idénticamente distribuidas, es decir, cada \(X_i\) tiene la misma densidad \(f\).

Esta densidad \(f\) está parametrizada por un vector \(\mathbf{\theta} = (\theta_1, \ldots, \theta_m)\). Desde el punto de vista frecuentista este vector es desconocido pero fijo.

Nuestro objetivo es estimar \(\mathbf{\theta}\) utilizando la información de la muestra.

Estimador y estimados

Un estimador para un parámetro \(\mathbf{\theta}\) es una función, \(T\), que involucra únicamente las observaciones de una muestra \(X_1, \ldots, X_n\). Un estimador es una variable aleatoria \(T(X_1, \ldots, X_n)\).

Una vez observados los valores de la muestra, \(\mathbf{X} = \mathbf{x}\), el valor \(t = T(\mathbf{x})\) es llamado un estimado de \(\mathbf{\theta}\), este estimado es un número.

Función de verosimilitud (likelihood)

Si \(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n\) forman una muestra y \(f(x; \mathbf{\theta})\) es la densidad de cada \(X_i\); la función de verosimilitud está dada por:

\[ L(\mathbf{\theta}) = \Pi_{i=1}^{n} f(x_i; \mathbf{\theta}) \]

Por el supuesto de independencia, la función de verosimilitud, es la función de densidad conjunta de la muestra pero vista como función del parámetro \(\theta\).

Estimador máximo verosímil

Un estimado máximo verosímil de \(\theta\) es un valor \(\widehat{\theta}(\mathbf{x})\) que maximiza la función de verosimilitud.

\[ L(\widehat{\theta}) = \max_{\theta} L(\theta) \]

Un estimador máximo verosimil de \(\theta\) es \(\widehat{\theta}(X)\), es decir, es una variable aleatoria.

Log-verosimilitud (log-likelihood)

Debido a que \(L(\mathbf{\theta})\) es un producto de funciones, resulta más conveniente optimizar la log-verosimilitud, la cual está dada por:

\[ Ln(L(\mathbf{\theta})) = \sum_{i=1}^{n} Ln(f(x_i; \mathbf{\theta})) \]

Receta para obtener estimadores máximos verosímiles

1. Encuentre la función de verosimilitud.

2. Encuentre la función de log-verosimilitud.

3. Derive la log-verosimilitud respecto a \(\theta\) (obtenga el gradiente si \(\theta\) es un vector).

4. Encuentre los puntos críticos, es decir, aquellos valores de \(\theta\) tales que \(\nabla Ln(L(\theta)) = 0\).

5. Aplique criterios de segunda derivada para saber que puntos críticos corresponden a puntos máximos.

Ejercicio

Suponga que se tiene una muestra de variables que provienen de una distribución Bernoulli, \(Ber(p)\), en donde \(p\) es un parámetro desconocido.

\[ f(x;p) = p^{x}(1 - p)^{1 - x} \]

Encuentre el estimador máximo verosímil de \(p\).

Ejercicio

Suponga que se tiene una muestra de variables que provienen de una distribución normal, \(N(\mu, \sigma^2)\), en donde \(\mu\) es un parámetro desconocido pero sabemos quien es \(\sigma^2\).

\[ f(x;\mu,\sigma^2) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} exp\left[-\dfrac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right] \]

Encuentre el estimador máximo verosímil de \(\mu\).

Ejercicio

Suponga que se tiene una muestra de variables que provienen de una distribución Poisson, \(Poi(\lambda)\), en donde \(\lambda\) es un parámetro desconocido.

\[ f(x; \lambda) = \dfrac{\lambda^{x} e^{-\lambda}}{x!} \]

Encuentre el estimador máximo verosímil de \(\lambda\).

Invarianza de los MLE

Si \(\widehat{\theta}\) es un estimador máximo verosímil de \(\theta\) y \(g\) es una función de \(\theta\), entonces \(g(\widehat{\theta})\) es un estimador máximo verosímil de \(g(\theta)\).

Estimadores insesgados

Un estimador \(T\) para el parámetro \(\tau(\theta)\), se llama un estimador insesgado (unbiased) si y sólo si

\[ E[T] = \tau(\theta) \]

para todo \(\theta\).

El sesgo (bias) de un estimador, \(T\), para un parámetro \(\tau(\theta)\), está dado por \(E[T] - \tau(\theta)\).

Error cuadrático medio

Si \(T\) es un estimador de \(\tau(\theta)\), el error cuadrático medio de \(T\) (\(MSE_{T}\)) está dado por

\[ E\left[(T - \tau(\theta))^2 \right] = Var(T) + \left[E(T) - \tau(\theta)\right]^2 \]

Scipy optimize

Para resolver problemas de optimización (minimización), podemos utilizar el módulo optimize de la librería scipy

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/optimize.html

from scipy.optimize import minimize
from scipy.optimize import Bounds

Ejercicio

Revise el archivo Ejercicios_MLE_Valuacion.ipynb

Instrumento derivado

Un instrumento derivado es un contrato entre dos o más partes y cuyo valor se deriva a partir del valor de un activo subyacente.

Opciones sobre acciones

Una opción nos da el derecho de comprar (opción call) o vender (opción put) a un precio determinado (el precio strike) una unidad de la acción a la cual está referenciada.

Opción europea

Una opción europea es una opción que se puede ejercer únicamente en una fecha determinada.

Opción americana

Una opción americana es una opción que se puede ejercer en cualquier fecha dentro de un periodo de tiempo determinado.

Payoff de opciones europeas

Sea \(T\) el momento en que se establece que la opción se puede ejecutar y sea \(K\) el precio strike. El payoff de una opción call europea con subyacente \(S\), está dado por:

\[ Call_{T}(S,K) = \max(S_T - K, 0) \]

Por otra parte, el payoff de una opción put europea es

\[ Put_{T}(S,K) = \max(K - S_T, 0) \]

Un call es una apuesta a una tendencia a la alza en los precios, mientras que un put es una apuesta a una tendencia a la baja.

Movimiento browniano

Un movimiento browniano (formalmente un proceso de Wiener) es un proceso estocástico \(\{W\}_{t\geq 0}\) que satisface lo siguiente:

1. \(W_0 = 0\).

2. El mapeo \(t \rightarrow W_t\) es una función continua.

3. Los incrementos \(\{W_{t_1} - W_{t_0}, W_{t_2} - W_{t_1}, \ldots, W_{t_k} - W_{t_{k-1}} \}\) son variables aleatorias independientes.

4. Para \(s < t\), \(W_t - W_s \sim N(0, \sigma^2 = t - s)\).

Modelo Black-Scholes-Merton

En el modelo de Black-Scholes-Merton, se tiene un mercado en el cual existen únicamente tres instrumentos:

1. Acción \(S\).

2. Cuenta de ahorro, \(B_t\) que gana una tasa libre de riesgo \(r\).

\[ \dfrac{B_t}{B_t} = rdt \implies B_t = e^{rt} \] 3. Instrumento derivado \(V\) cuyo subyacente es \(S\).

El precio de la acción se modela utilizando un movimiento browniano geométrico

\[ dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t \]

Nota:

Realmente esta es la dinámica que sigue \(\{S_t\}_{t\geq 0}\) bajo una medidad de probabilidad, \(\mathbb{Q}\), llamada medida neutral al riesgo.

Valuación de derivados

Bajo ciertas condiciones, el precio en el tiempo \(t\) de un producto financiero derivado con función de payoff \(H\) y cuyo subyacente es \(S\) está dado por:

\[ Precio_H(S,t) = e^{-r(T-t)}E_{Q}[H(S,T)] \]

en donde \(Q\) es la medida neutral al riesgo.

En particular para un call europeo

\[ Call(S,K,t,T,r,\sigma) = e^{-r(T-t)}E_{Q}[\max(S_T - K, 0)] \]

Monte Carlo para valuar derivados

1. Simula trayectorias del subyacente.

2. Para cada trayectoria calcula el payoff del derivado \(H(S,T)\).

3. Aproxima \(E_{Q}[H(S,T)]\) promediando el payoff de cada una de las trayectorias.

4. Aplica el factor de descuento apropiado, en este caso \(e^{-r(T-t)}\), a la cantidad obtenida en el punto anterior.

Esquema de Euler para simular \(S_t\)

Para simular el proceso dado por la ecuación diferencial estocástica

\[ dS_t = rS_tdt + \sigma S_t dW_t \]

1. Crear una partición, \(\Pi = \{t_0 = 0, t_1, \ldots, t_N = T \}\) del intervalo \([0, T]\) dividiéndolo en \(N\) partes iguales (número de pasos) y haciendo \(\delta = \dfrac{T - t_0}{N}\)

2. Sustituir \(dt\) por \(\delta\) y \(dW_t\) por \(\sqrt{\delta}Z\) en donde \(Z \sim N(0,1)\).

3. Calcular los siguientes precios utilizando la discretización

\[ S_{t_{i+1}} = S_{t_{i}} + r S_{t_{i}} \delta + \sigma S_{t_{i}}\sqrt{\delta}Z_{i+1} \]

Fórmulas analíticas

Bajo el modelo de Black-Scholes, el precio, en el tiempo \(t\), de un call del tipo europeo está dado por

\[ Call(S,K,t,T,r,\sigma) = S_t\mathbf{N}(d_1) - e^{-r(T-t)}K\mathbf{N}(d_2) \]

• \(\mathbf{N}\) Es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria \(N(0,1)\).

• \(d_1 = \dfrac{ \ln \dfrac{S_t}{K} + (r + 0.5\sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}}\)

• \(d_2 = \dfrac{ \ln \dfrac{S_t}{K} + (r - 0.5\sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}}\)

• \(T\) es la fecha de vencimiento (generalmente en años).

• \(t\) es la fecha de valuación.

• \(r\) es la tasa libre de riesgo

• \(\sigma\) volatilidad del subyacente

• \(K\) precio strike.

En el caso de un put, se tiene

\[ Put(S,K,t,T,r,\sigma) = e^{-r(T-t)}K\mathbf{N}(-d_2) - S_t\mathbf{N}(-d_1) \]