En estas notas se introducen los conceptos relacionados a las medidas y espacios de probabilidad.
Para modelar un fenómeno en particular, lo primero que se debe considerar es el conjunto de posibles resultados que se podrían observar.
Sea \(\omega\) un resultado posible de un experimento, al conjunto de todos los posibles resultados de este experimento se le llama espacio muestral.
Este espacio usualmente es denotado como \(\Omega\).
Si se tira una moneda dos veces, entonces
\[ \Omega = \{\left(A, A\right), \left(A, S\right),\left(S, A\right), \left(S, S\right) \} \]
El espacio muestral, \(\Omega\), puede ser un conjunto finito, numerable infinito o no numerable y cada elemento de este conjunto se denota con la letra \(\omega\).
¿Cuál sería el espacio muestral si se buscar modelar el precio de una acción?
Sea \(\Omega\) un espacio muestral. Cualquier subconjunto \(A \subseteq \Omega\), incluyendo el conjunto vacío \(\emptyset\) y el mismo conjunto \(\Omega\), es llamado un evento
En el caso de tirar una moneda dos veces, el obtener al menos una águila es un evento
\[ \{\left(A, A\right), \left(A, S\right),\left(S, A\right) \} \subset \Omega \]
Una vez teniendo la definición de evento, necesitamos crear un conjunto de eventos a los cuales nos interesa asignar probabilidades.
Si \(A, B\) son eventos, tiene sentido poder hablar de la probabilidad de cada uno de ellos.
Tiene sentido también poder hablar de la probabilidad de que alguno ocurra, \(A \cup B\) o que ambos ocurran \(A \cap B\).
Finalmente, tiene sentido hablar de la probabilidad de que no ocurran \(A^{c}, B^{c}\).
Una colección, \(\mathcal{F}\), no vacía de subconjuntos de un conjunto \(\Omega\), se llama una sigma álgebra (\(\sigma\)-álgebra) de subconjuntos de \(\Omega\) si las siguientes propiedades se cumplen:
Si \(A \in \mathcal{F}\), entonces \(A^{c} \in \mathcal{F}\).
Si \(A_n \in \mathcal{F}\), \(n = 1,2, \ldots\), entonces \(\cup_{n=1}^{\infty}A_n \in \mathcal{F}\) y \(\cap_{n=1}^{\infty}A_n \in \mathcal{F}\).
Demuestre que si \(\mathcal{F}\) es una sigma álgebra y \(A_n, B_n\), \(n=1,2,\ldots\) son una sucesión de eventos de \(\mathcal{F}\), entonces el conjunto \[ \left(\cap_{n = 1}^{\infty} A_{n}^{c} \right) \cup \left(\cup_{n = 1}^{\infty} B_{n}^{c} \right) \] pertenece a \(\mathcal{F}\).
Demuestre que si \(\mathcal{F}\) es una sigma álgebra, entonces \(\Omega \in \mathcal{F}\) y \(\emptyset \in \mathcal{F}\).
Demuestre que una sigma álgebra es cerrada bajo intersecciones y uniones finitas.
Sea \(\Omega\) un espacio muestral y \(\mathcal{F}\) una \(\sigma\)-álgebra de subconjuntos de \(\Omega\). La probabilidad de un evento \(A \in \mathcal{F}\), está dada por el límite \[ \mathbb{P}(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n_A}{n} \] en donde \(n\) es el número total de ensayos y \(n_A\) es el número de veces que ocurre el evento \(A\).
Una medida de probabilidad \(\mathbb{P}\), es una función \(\mathbb{P}:\mathcal{F} \rightarrow [0,1]\) que cumple lo siguiente:
\(\mathbb{P}(\Omega) = 1\).
\(\mathbb{P}(A) \geq 0\) para todo \(A \in \mathcal{F}\).
Si \(A_n\), \(n=1,2,\ldots\) son eventos mutuamente excluyentes (\(A_i \cap A_j = \emptyset\) para \(i \neq j\)), entonces
\[ \mathbb{P}\left(\cup_{n=1}^{\infty}A_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(A_n) \]
Un espacio de probabilidad es una \(3\)-tupla \(\left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)\) en donde \(\Omega\) es un conjunto, \(\mathcal{F}\) es una sigma álgebra de subconjuntos de \(\Omega\) y \(\mathbb{P}\) es una medida de probabilidad definida sobre \(\mathcal{F}\).
\(\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A^c \cap B)\).
\(\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)\), en particular \(\mathbb{P}(\emptyset) = 1 - \mathbb{P}(\Omega)\).
Si \(A \subset B\), entonces \(\mathbb{P}(B) \geq \mathbb{P}(A)\).
\[ \begin{align} \mathbb{P}(\cup_{i=1}^{n}A_i) = & \sum_{i=1}^{n}\mathbb{P}(A_i) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbb{P}(A_i \cap A_j) \\ + & \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} \mathbb{P}(A_i \cap A_j \cap A_k) \\ - & \ldots + (-1)^{n + 1}\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) \end{align} \]
Como consecuencia de la última expresión
\[ \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \]
Considera una caja con 4 cartas enumeradas del 1 al 4, suponga que extrae al azar dos cartas
¿Cuál es el espacio muestral \(S_1\) si las extracciones se realizan con reemplazo?
¿Cuál es el espacio muestral \(S_2\) si las extracciones se realizan sin reemplazo?
Utilizando simulación, calcule en ambos casos la probabilidad de que la primera carta sea un 3. Utilice \(100,000\) simulaciones.
Suponga que tira dos dados (justos) al azar. Calcule y grafique las probabilidades que la suma de sus caras sea \(2, 3, \ldots, 12\). Utilice \(100,000\) simulaciones.
Se tira una moneda \(6\) veces, calcule las siguientes probabilidades:
El número de águilas y soles sea el mismo.
Exactamente aparecen dos águilas.
Al menos dos águilas han aparecido.
Utilice \(100,000\) simulaciones.
Sean \(A,B\) dos eventos tales que \(\mathbb{P}(A) > 0\). La probabilidad condicional de \(B\) dado el evento \(A\), se define como \[ \mathbb{P}(B | A) = \dfrac{\mathbb{P}(B \cap A) }{\mathbb{P}(A)} \]
Si \(N_n(A)\) denota el número de veces que ocurre el evento \(A\) en \(n\) ensayos, esta probabilidad puede aproximarse con la expresión
\[ \dfrac{N_n(A \cap B)}{N_n(A)} \approx \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} \]
Si \(A_1, \ldots, A_k\) forman una partición del espacio muestral \(\Omega\), es decir, \(A_i \cap A_j = \emptyset\) para \(i \neq j\) y \(\cup_{i=1}^{k}A_i = \Omega\) y si \(0 < \mathbb{P}(A_i) < 1\) para toda \(i\), entonces para todo evento \(B\)
\[ \mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^{k}\mathbb{P}(B|A_i)\mathbb{P}(A_i) \]
Utilizando este resultado, puede obtenerse la fórmula de Bayes
\[ \mathbb{P}(A_i|B) = \dfrac{\mathbb{P}(A_i) \mathbb{P}(B|A_i) }{\sum_{j=1}^{k} \mathbb{P}(A_j) \mathbb{P}(B|A_j)} \]
Puede obtenerse también lo siguiente: \[ \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B|A^c)\mathbb{P}(A^c) \]
Sean \(A_1, \ldots, A_k\) eventos cualesquiera, entonces
\[ \begin{align} \mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_k) = & \mathbb{P}(A_1)\mathbb{P}(A_2|A_1)\mathbb{P}(A_3|A_1 \cap A_2)\ldots \\ \times & \mathbb{P}(A_k|A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{k-1}) \end{align} \]
Una colección de eventos \(A_1, \ldots, A_n\) se dice que es mutuamente independiente si para cada \(k, 1 \leq k \leq n\), y cualesquiera \(k\) eventos, \(A_{i_1}, \ldots A_{i_k}\), se tiene que \(\mathbb{P}(A_{i_1} \cap \ldots A_{i_k}) = \mathbb{P}(A_{i_1}) \times \ldots \times \mathbb{P}(A_{i_k})\). En particular, dos eventos son independientes si
\[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) \]
En este caso
\[ \mathbb{P}(B|A) = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} = \mathbb{P}(B) \]
Supongamos que la población de una ciudad está compuesta por \(40\%\) hombres y \(60\%\) mujeres. Supongamos también que \(50\%\) de los hombres y \(30\%\) de las mujeres fuman. Encuentre la probabilidad de que un fumador sea hombre.
Resuelva este ejercicio de manera analítica y utilizando simulación con \(100,000\) simulaciones.