Matriz

Sean \(\mathbb{F}\) un campo y \(n,m\) entero positivos. Una matriz de tamaño \(m \times n\) es un arreglo rectangular (\(m\) renglones y \(n\) columnas) de números en \(\mathbb{F}\)

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \]

Si \(n=m\), decimos que es una matriz cuadrada. Para referirnos al elemento en el renglón \(i\), columna \(j\) utilizaremos la notación \(a_{ij}\).

De acuerdo a la definición de matriz, un vetor renglón es una matriz de \(1 \times n\)

\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_{1} & \ldots & a_{n} \end{pmatrix} \]

Un vector columna es una matriz de \(n \times 1\)

\[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix} \]

Con numpy creamos una matriz de la siguiente forma

import numpy as np
#Matriz
matriz = np.array([ [1,2,3], [4,5,6] ])

#vector renglón
renglon_1 = np.array([1,2,3]) #ndim = 1 shape = (3,)

# o también

renglon_2 = np.array( [ [1,2,3] ]) #ndim = 2 shape = (1,3)

#Vector columna
columna = np.array([ [1], [2], [3] ]) #ndim = 2 shape = (3,1)

Matriz transpuesta

Sea \(\mathbf{A}\) una matriz de tamaño \(m \times n\). La transpuesta de \(\mathbf{A}\), es la matriz, \(\mathbf{B}\), de tamaño \(n \times m\) tal que \(b_{ij} = a_{ji}\), es decir, se intercambian renglones por columnas. Denotaremos a la matriz transpuesta de \(\mathbf{A}\) como \(\mathbf{A}^{T}\).

Ejercicio

Si

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \]

obtener \(\mathbf{A}^T\).

Utilizando numpy podemos utilizar el método transpose para obtener la matriz transpuesta.

matriz_A = np.array([ [2, 1, 0], [1, 3, 5] ])

A_transp = matriz_A.transpose()

Diagonal de una matriz

Sea \(\mathbf{A}\) una matriz cuadrada de \(n \times n\), la diagonal de \(\mathbf{A}\) son los elementos \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\).

con numpy podemos utilizar el método diagonal para extraer la diagonal de una matriz

#matriz de 3 x 3
matriz = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
help(np.diagonal)

diag = matriz.diagonal()

matriz[0][0] = 10

#La matriz no tiene que ser necesariamente cuadrada
matriz = np.array([[1,2,3], [4,5,6]])

diag = matriz.diagonal()

Matriz cero

La matriz cero se define como

\[ \mathbf{0} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix} \]

con numpy podemos crear la matriz cero, utilizando la funcion zeros

mat_cero = np.zeros(shape = (2, 3))

mat_cero_bool = np.zeros(shape = (2, 3), dtype = bool)

Matrices diagonal

Una matriz cuadrada de \(n \times n\), se dice que es una matriz diagonal si tiene la siguiente forma:

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

si \(a_{ii} = 1\) para toda \(i\), la matriz recibe el nombre de matriz identidad o matriz unitaria.

con numpy podemos utilizar la función diagflat para crear matrices diagonales

mi_diagonal = np.array([1, 2, 3, 4])

mat_diag = np.diagflat(mi_diagonal)

help(np.diagflat)

np.diagflat(mi_diagonal, 2) #shape (6, 6)

np.diagflat(mi_diagonal, 3) #shape (7, 7)

np.diagflat(mi_diagonal, -3) #shape (7, 7)

#matriz indentidad
identidad = np.identity(5)

#similiar pero no exactamente igual a identity
eye_cuadrada = np.eye(5)
eye_rectangular = np.eye(5,6)

Matrices triangulares

Se dice que una matriz cuadrada de \(n \times n\) es triangular superior si los elementos que están debajo de la diagonal son igual a cero, es decir, \(a_{ij} = 0\) para \(i > j\).

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ddots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

De manera similar, se dice que es triangular inferior si \(a_{ij} = 0\) para \(i < j\).

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ddots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

con numpy podemos crear matrices triangulares con las funciones triu y tril

#matrix 3 x 3 triangular superior
np.triu([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

#matrix 3 x 3 triangular inferior
np.tril([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])

#¿Que pasa si no es una matriz cuadrada?
#matriz de 4 x 3
np.triu([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9], [10, 11, 12]])

Ejercicios

1. ¿Cuál es la dimensión del espacio de matrices de \(m \times n\)? Dé una base para este espacio.

2. ¿Cuál es la dimensión del espacio de matrices triangulares superiores de tamaño \(n \times n\)?

3. ¿Cual es la dimensión del espacio de matrices simétricas de \(n \times n\)? Dé una base para este espacio.

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Sean \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) matrices de tamaño \(m \times n\), definimos la suma \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\) como la matriz \(\mathbf{C}\) tal que \(c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\). En otras palabras, la suma de matrices se realiza componente por componente.

Producto escalar

Sea \(\mathbf{A}\) una matriz y \(c\) un escalar, definimos la matriz \(\mathbf{B} = c\mathbf{A}\) como la matriz cuya componente \(b_{ij} = c a_{ij}\). Es decir, multiplicamos cada elemento de \(\mathbf{A}\) por el escalar \(c\).

Algunos resultados

1. Para cualquier matriz cuadrada \(\mathbf{A}\), la matriz \(\mathbf{A} + \mathbf{A}^{T}\) es una matriz simétrica.

2. Si \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) son matrices de \(m \times n\), entonces \[ \left( \mathbf{A} + \mathbf{B} \right) ^{T} = \mathbf{A}^{T} + \mathbf{B}^{T}.\]

3. Si \(\mathbf{A}\) es una matriz de \(m \times n\) y \(c\) un escalar, entonces \[ (c\mathbf{A})^{T} = c \mathbf{A}^{T}.\]

Producto punto

Sean \(\mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n)\) y \(\mathbf{b} = (b_1, \ldots, b_n)\) dos vectores con entradas sobre un campo \(\mathbb{F}\), el producto punto entre \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\) se define como

\[\left< \mathbf{a}, \mathbf{b} \right> = \sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}\]

Propiedades del producto punto

• \(\left< \mathbf{a}, \mathbf{b} \right> = \left< \mathbf{b}, \mathbf{a} \right>\).

• \(\left< \mathbf{a}, \mathbf{b} + \mathbf{c} \right> = \left< \mathbf{a}, \mathbf{b} \right> + \left< \mathbf{a}, \mathbf{c} \right> = \left< \mathbf{b} + \mathbf{c}, \mathbf{a} \right>\).

• Si \(k\) es un escalar, entonces

\[ \left< k\mathbf{a}, \mathbf{b} \right> = k\left< \mathbf{a}, \mathbf{b} \right> = \left< \mathbf{a}, k\mathbf{b} \right> \]

• Si los componentes de \(\mathbf{a}\) son números reales, entonces

\[ \left< \mathbf{a}, \mathbf{a} \right> = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2} \geq 0. \]

• Si \(\left< \mathbf{a}, \mathbf{b} \right> = 0\) para todo \(\mathbf{b}\), entonces \(\mathbf{a} = (0,\ldots,0)\).

Con numpy podemos realizar el producto punto de dos vectores utilizando la función dot

vector1 = np.array([1,2,3])
vector1 = np.array([4,5,6])
np.dot(vector1, vector2)

#o también utilizando el método dot
vector1.dot(vector2)

help(np.dot)

Producto de matrices

Sea \(\mathbf{A}\) una matriz de \(m \times n\) y \(\mathbf{B}\) una matriz de \(n \times k\). El producto \(\mathbf{A}\mathbf{B}\), se define como la matriz de tamaño \(m \times k\):

\[ \begin{pmatrix} \left< \mathbf{a_1}, \mathbf{b^1} \right> & \left< \mathbf{a_1}, \mathbf{b^2} \right> & \ldots & \left< \mathbf{a_1}, \mathbf{b^k} \right> \\ \left< \mathbf{a_2}, \mathbf{b^1} \right> & \left< \mathbf{a_2}, \mathbf{b^2} \right> & \ldots & \left< \mathbf{a_2}, \mathbf{b^k} \right> \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \left< \mathbf{a_m}, \mathbf{b^1} \right> & \left< \mathbf{a_m}, \mathbf{b^2} \right> & \ldots & \left< \mathbf{a_m}, \mathbf{b^k} \right> \\ \end{pmatrix} \]

en donde \(\mathbf{a_i}\) representa el \(i-\)ésimo renglón de \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{b^i}\) representa la \(i-\)ésima columna de \(\mathbf{B}\).

Propiedades del producto de matrices

1. \(\mathbf{A} \mathbf{B} \neq \mathbf{B} \mathbf{A}\) (¿por qué?)

2. \(\mathbf{A} (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A}\mathbf{B} + \mathbf{A}\mathbf{C}\).

3. Si \(k\) es un escalar \[\mathbf{A}(k\mathbf{B}) = k(\mathbf{AB})\]

4. \((\mathbf{AB})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{BC})\).

5. \((\mathbf{AB})^{T} = \mathbf{B}^{T} \mathbf{A}^{T}\) (demostrar).

6. Si \(\mathbf{A}\) es una matriz cuadrada, entonces \(\mathbf{A}^{0} = \mathbf{I}\) y para enteros no negativos, \(r\) y \(s\), tenemos que \(\mathbf{A}^{r+s} = \mathbf{A}^{r} \mathbf{A}^{s}\).

7. El producto punto, puede escribirse como el producto de una matriz renglón con una matriz columna:

\[ \left< \mathbf{a}, \mathbf{b} \right>= \begin{pmatrix} a_1, \ldots , a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \]

En la literatura, es muy común representar a los vectores como vectores columnas y por lo tanto \[ \left< \mathbf{a}, \mathbf{b} \right> = \mathbf{a}^{T} \mathbf{b} \]

con numpy es posible realizar la multiplicación de matrices utilizando las siguientes funciones:

• dot (no sugerida)

• matmul

o el operador @.

matriz_A = np.array([ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9] ])
matriz_B = np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8], [9, 10, 11, 12] ] )

#dot no es recomendado
np.dot(matriz_A, matriz_B)

np.matmul(matriz_A, matriz_B)

matriz_A @ matriz_B

Ejercicio

Implemente el producto de matrices sin utilizar numpy, es decir, utilizando únicamente listas.

A = [ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9] ]
B = [ [1,2], [4,5], [7,8] ]

Sean \(\mathbb{F}\) un campo, \(\mathbf{A}\) una matriz de \(m \times n\) y \(b_1, \ldots, b_m\) escalares de \(\mathbb{F}\). Ecuaciones del tipo

\[ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & & \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n & = & b_m \end{array} \]

son llamados sistemas de ecuaciones lineales. Los elementos de la matriz \(\mathbf{A}\) son llamados coeficientes y los elementos \(x_1, \ldots, x_n\) incognitas.

Si \(b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0\), entonces decimos que es un sistema homogéneo y el sistema homogéneo asociado al sistema anterior es:

\[ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & 0 \\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & 0 \\ \vdots & & \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n & = & 0 \end{array} \] Este sistema siempre tiene una solución, conocida como solución trivial.

Utilizando las columnas de la matriz \(\mathbf{A}\), podemos reescribir el sistema de ecuaciones como:

\[ \begin{array}{crl} x_1 \begin{pmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + \ldots + x_n \begin{pmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} \end{array} \]

o denotando a la \(j-\)ésima columna de \(\mathbf{A}\) como \(\mathbf{a_{j}}\) y al vector (columna) \((b_1, \ldots, b_m)^{T}\) como \(\mathbf{b}\) \[ x_1\mathbf{a_{1}} + \ldots + x_n \mathbf{a_{n}} = \mathbf{b}.\] En el caso de un sistema homogéneo, la existencia de una solución no trivial implica una dependencia lineal entre los vectores formados por las columnas de la matriz \(\mathbf{A}.\)

Teorema

Sea

\[ \begin{array}{rcl} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & 0 \\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & 0 \\ \vdots & & \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n & = & 0 \end{array} \]

un sistema homogéneo de ecuaciones lineales. Si \(n>m\), entonces existe una solución no trivial.

Ejercicio

Demuestre el teorema anterior.

Sugerencia: Utilice uno de los últimos resultados que se vio en la clase pasada.

Ejercicio

Suponga que se tiene un sistema lineal homogéneo y que \(n = m\). Además suponga que las columnas de la matriz \(\mathbf{A}\) son linealmente independientes. Demuestre que la única solución es la solución trivial.

con numpy es posible resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando la función solve del módulo linalg

from numpy.linalg import solve

#Matriz de coeficientes
A = np.array([ [3,1], [1,2] ])

#vector columna b
b = np.array([9,8])

#solucion
#también se puede hacer np.linalg.solve
x = solve(A, b)

#Podemos validar la solución
#utilizando la función allclose
np.allclose(A @ x, b)

Rreplicando un instrumento

Suponga que se tienen tres instrumentos (una acción, un bono libre de riesgo y un derivado) y que en un año sólo puede haber dos posible escenarios

• Escenario 1: La acción cuesta 975, el bono paga el nominal de 875 y el derivado tiene un payoff de 100.
• Escenario 2: La acción cuesta 740, el bono paga el nominal de 875 y el derivado tiene un payoff de 0.

Encuentre un portafolio compuesto sólo de acciones y bonos, tal que replique el payoff del derivado, en otras palabras, que tantas acciones y que tantos bonos se deben de comprar para replicar el derivado.

Matriz inversa

Sea \(\mathbf{A}\) una matriz cuadrada de \(n \times n\). Una matriz, \(\mathbf{B}\), de \(n \times n\); se dice que es la inversa de \(\mathbf{A}\) si:

\[ \mathbf{A} \mathbf{B} = \mathbf{B} \mathbf{A} = \mathbf{I} \]

en donde \(\mathbf{I}\) es la matriz identidad de tamaño \(n \times n\). En este caso decimos que \(\mathbf{A}\) es invertible o no singular. Denotaremos a la inversa de \(\mathbf{A}\) como \(\mathbf{A}^{-1}\). Si una matriz no tiene inversa, decimos que es no invertible o singular.

con numpy se puede obtener la matriz inversa con la función inv del módulo linalg

from numpy.linalg import inv

A = np.array([ [975, 875], [740, 875] ])

#también puede ser np.linalg.inv
A_inv = inv(A)

#validamos
identidad = np.identity(A.shape[0])
np.allclose(A @ A_inv, identidad)
np.allclose(A_inv @ A, identidad)

Teoremas

Sean \(\mathbf{A}\) y \(\mathbf{B}\) matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces tenemos que: \[ (\mathbf{A} \mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}\]

Si \(\mathbf{A}\) es una matriz invertible, entonces su inversa es única.

Ejercicio

Demuestre los teoremas anteriores.

Determinante matriz \(2 \times 2\)

Sea

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

una matriz de \(2 \times 2\), el determinante de \(\mathbf{A}\), se define como:

\[det(\mathbf{A}) = \left| \mathbf{A} \right| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad -bc. \] De forma recursiva, es posible obtener el determinante de una matriz de \(n \times n\).

Propiedades del determinante

Para una matriz de \(n \times n\) \(\mathbf{A}\), el determinante cumple lo siguiente:

• \(\mathbf{A}\) es no singular si y sólo si \(|\mathbf{A}| \neq 0\)

• \(|\mathbf{A}^{T}| = |\mathbf{A}|\)

• \(|\mathbf{A}^{-1}| = |\mathbf{A}|^{-1}\)

• \(|\mathbf{A}| = 0\) para \(\mathbf{A}\) singular.

• \(|c\mathbf{A}| = c^{n}|\mathbf{A}|\) para \(c\) un escalar.

• \(|\mathbf{A}\mathbf{B}| = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}|\) con \(\mathbf{B}\) una matriz de

con numpy es posible calcular el determinante de una matriz con la función det del módulo linalg

from numpy.linalg import det

A = np.array([ [975, 875], [740, 875] ])
det_A = det(A)