Variables aleatorias

MĂłdulo 2

David R. Montalván Hernández

Variables aleatorias

Variable aleatoria

Una variable aleatoria asigna un nĂşmero o vector a cada posible resultado, \(\omega\), en nuestro espacio muestral, \(\Omega\).

Es decir, una variable aleatoria es realmente una funciĂłn \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) o \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n\).

Dado un espacio de probabilidad \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\), una variable aleatoria es una funciĂłn \(X\) de \(\Omega\) a los nĂşmeros reales \(\mathbb{R}\) tal que \[ X(]-\infty, x])^{-1} = \{\omega \in \Omega: X(\omega) \leq x \} \in \mathcal{F}, \, \, \mbox{para todo } x \in \mathbb{R} \]

En otras palabras, \(X\) es una funciĂłn \(\mathcal{F}\)-medible.

Generalmente se utiliza la siguiente notaciĂłn:

\[ \mathbb{P}[X(]-\infty, x])^{-1}] :=\mathbb{P}[X \leq x] \]

y de manera más general

\[ \mathbb{P}[X(A)^{-1}] :=\mathbb{P}[X \in A] \]

para \(A \in \mathcal{F}\).

Caso discreto

Una variable aleatoria discreta con valores sobre el conjunto \(\mathbb{R}\), es una funciĂłn de \(\Omega\) sobre un subconjunto finito o numerable infinito \(\{x_1, x_2, \ldots\}\) de nĂşmeros reales, de tal manera que \(\{\omega: X(\omega) = x_i \} \in \mathcal{F}\) para toda \(i\).

FunciĂłn de densidad (Discreto)

Sea \(X\) una variable aleatoria discreta con valores en \(\mathbb{R}\). Si \(f\) es una funciĂłn tal que:

  • \(f(x) = \mathbb{P}(X = x) \geq 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  • El conjunto \(\Omega_{x} = \{x: f(x) \neq 0 \}\) es un subconjunto finito o numerable infinito de \(\mathbb{R}\).

  • \(\sum_{x \in \Omega_{x}} f(x) = 1\).

entonces decimos que \(f\) es una funciĂłn de densidad (o funciĂłn de masa) de \(X\).

FunciĂłn de densidad (Continuo)

Sea \(X\) una variable aleatoria discreta con valores en \(\mathbb{R}\). Si \(f\) es una funciĂłn tal que:

  • \(f(x) \geq 0\) para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  • \(\int_{x \in \Omega_{x}} f(x) dx = 1\).

entonces decimos que \(f\) es una funciĂłn de densidad de \(X\).

En este caso \(\mathbb{P}(X = x) = 0\).

Ejemplo de funciĂłn de densidad (discreto)

Ejemplo de funciĂłn de densidad (continuo)

De acuerdo al caso, podemos calcular \(\mathbb{P}(X \in A)\) utilizando las siguientes fĂłrmulas

\[ \mathbb{P}(X \in A) = \sum_{x_i \in A}f(x_i) \, \text{ Caso discreto} \]

\[ \mathbb{P}(X \in A) = \int_{A}f(x)dx \, \text{ Caso continuo} \]

FunciĂłn de distribuciĂłn acumulativa

La funciĂłn \(F(t), -\infty < t < \infty\) definida por

\[ F(t) = \mathbb{P}(X \leq t) = \sum_{x \leq t} f(x) \, \text{ Caso discreto} \]

\[ F(t) = \mathbb{P}(X \leq t) = \int_{-\infty}^{t} f(x)dx \, \text{ Caso continuo} \]

recibe el nombre de funciĂłn de distribuciĂłn acumulativa (o simplemente funciĂłn de distribuciĂłn) de la variable aleatoria \(X\).

Propiedades de la funciĂłn de distribuciĂłn

  • Para toda \(x \in \mathbb{R}\), \(0 \leq F(x) \leq 1\).

  • \(F(x) \rightarrow 0\) cuando \(x \rightarrow -\infty\), y \(F(x) \rightarrow 1\) cuando \(x \rightarrow \infty\).

  • Dado un nĂşmero real \(a\), \(F(x) \downarrow F(a)\) cuando \(x \downarrow a\) (continuidad por la derecha).

  • Para cualesquiera dos nĂşmeros reales \(x < y\), \(F(x) \leq F(y)\) (monĂłtona creciente).

FunciĂłn de distribuciĂłn (discreto)

FunciĂłn de distribuciĂłn (continuo)

Ejercicio

Demuestre que para cualesquiera numeros \(a \leq b\) \[ \mathbb{P}(a < X \leq b) = F(b) - F(a) \]

Sugerencia

Considere los conjuntos \(A = \{ \omega: X(\omega) \leq a\}, B = \{\omega: X(\omega) \leq b\}\) y recuerde que para todo conjunto \(A\)

\[ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap B^c). \]

FunciĂłn de una variable aleatoria (discreto)

Sea \(X\) una variable aleatoria discreta y sea \(Y = g(X)\). Entonces

\[ \mathbb{P}(Y = y) = \sum_{x: g(x) = y} \mathbb{P}(X = x) \]

Ejercicio

Si \(X\) tiene funciĂłn de densidad \[ f(x) = \dfrac{c}{1 + x^2} \]

para \(x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\). Encuentre el valor de \(c\) y la funciĂłn de densidad de

\[ Y = sen\left( \dfrac{\pi}{2}X \right) \]

Esperanza y varianzas

Esperanza de una variable aleatoria

El concepto de esperanza de una variable aleatoria está relacionado con la idea de promediar los posibles valores que la variable puede tomar. En lugar de utilizar un promedio común, en donde a cada posible valor se le da la misma ponderación, las ponderaciones son asignadas a través de la función de densidad de la variable.

Esperanza

Sea \(X\) una variable aleatoria. Si \(\sum_{i} |x_i|f(x_i) < \infty\) (\(\int_{\Omega_x} |x|f(x)dx < \infty\)) definimos la esperanza de \(X\) como

\[ \mu = E[X] = \sum_{i}x_if(x_i) \, \text{ Caso discreto} \]

\[ \mu = E[X] = \int_{\Omega_x}xf(x)dx \, \text{ Caso continuo} \]

Propiedades de la esperanza

  • Si \(\mathbb{P}(X = c) = 1\) para una constante \(c\), entonces \(E[X] = c\).

  • Si \(X,Y\) son variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio \(\Omega\), ambas con esperanza finita y si \(\mathbb{P}(X \leq Y) = 1\), entonces \(E[X] \leq E[Y]\).

  • Si \(X\) tiene esperanza finita y si \(\mathbb{P}(X \geq c) = 1\), entonces \(E[X] \geq c\). De la misma forma, si \(\mathbb{P}(X \leq c) = 1\), entonces \(E[X] \leq c\).

  • \(|E[X]| \leq E[|X|]\).

  • Si \(Y = g(X)\), entonces \(E[Y] = \sum_{i}g(x_i)f(x_i)\) o \(E[Y] = \int_{\Omega_x}g(x)f(x)dx\).

  • Si \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) son variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio \(\Omega\), con esperanza finita y si \(c_1, \ldots, c_n\) son constantes, entonces

\[ E\left[ \sum_{i=1}^{n}c_{i}X_i \right] = \sum_{i=1}^{n}c_iE[X_i] \]

Ejercicios

Demuestre que si \(X\) es una variable aleatoria que toma los valores \(0,1,2,\ldots\) y con esperanza finita, entonces

\[ E[X] = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(X > n) \]

Sea \(X\) una variable aleatoria con funciĂłn de densidad

\[ \mathbb{P}[X = x] = \dfrac{1}{x(x + 1)} \]

para \(x=1,2,3,\ldots\).

Demuestre que \(E[X]\) no existe.

Varianza y desviación estándar

Sea \(X\) una variable con esperanza finita. La varianza de \(X\) se define como

\[ \sigma^2 = Var[X] = E[(X - \mu)^2] \]

La desviación estándar de \(X\) se define como \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\).

La varianza nos dice que tanta dispersiĂłn existe al rededor de la esperanza.

Propiedades de la varianza

  • Para toda constante \(c \in \mathbb{R}\), \(Var(cX) = c^2Var(X)\).

  • Para toda constante \(c \in \mathbb{R}\), \(Var(X + c) = Var(X)\).

  • \(Var(X) \geq 0\), para toda variable aleatoria \(X\). La igualdad se cumple sĂłlo si \(\mathbb{P}(X = c)=1\) para algĂşn nĂşmero \(c\) constante.

  • \(Var(X) = E(X^2) - (E[X])^2\).

Sesgo y curtosis

Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E[|X|^3]<\infty\). El sesgo de \(X\) se define como \[ \dfrac{E[(X- \mu)^3]}{\sigma^3}. \]

Supongamos que \(E[X^4] < \infty\). La curtosis (exceso) de \(X\) está dada por

\[ \dfrac{E[(X - \mu)^4]}{\sigma^4} - 3. \]

Teoremas lĂ­mites

Ley fuerte de los grandes nĂşmeros

Sea \(X_1, \ldots, X_n\) una secuencia de variables aleatorias independientes y con misma distribuciĂłn, cada una con media \(\mu\) y sea \[ \bar{X} = \dfrac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_i \] Entonces para todo \(\epsilon > 0\)

\[ \mathbb{P}\left( \lim_{n \rightarrow \infty} |\bar{X} - \mu |> \epsilon \right ) = 0 \]

Teorema del lĂ­mite central

Sea \(X_1, \ldots, X_n\) una secuencia de variables aleatorias independientes y con misma distribuciĂłn, cada una con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\). Sea

\[ Z = \dfrac{\bar{X} - \mu }{ \sigma / \sqrt{n}} \]

Entonces

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} (Z \leq z) = \Phi(z) \] en donde \(\Phi(z)\) es la función de distribución de una variable aleatoria normal estándar \(N(\mu = 0, \sigma = 1)\).